数学史上的三大危机是什么?

产品时间:2022-07-09 00:53

简要描述:

危机一,希帕索斯发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即√2)永远无法用最简整数比(不行公度比)来表现,从而发现了第一个无理数,推翻了毕达哥拉斯的著名理论。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立,所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现,而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的处罚。...

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本文摘要:危机一,希帕索斯发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即√2)永远无法用最简整数比(不行公度比)来表现,从而发现了第一个无理数,推翻了毕达哥拉斯的著名理论。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立,所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现,而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的处罚。

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危机一,希帕索斯发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即√2)永远无法用最简整数比(不行公度比)来表现,从而发现了第一个无理数,推翻了毕达哥拉斯的著名理论。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立,所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现,而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的处罚。

约在公元前370年,柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题. 他纯粹用正义化方法建立了新的比例理论,巧妙地处置惩罚了可公度和不行公度. 他处置惩罚不行公度的措施,被欧几里得《几何原本》第二卷(比例论)收录,而且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致. 21世纪的中国中学几何课本中对相似三角形的处置惩罚,仍然反映出由不行通约量而带来的某些难题和微妙之处.危机二,微积分的合理性遭到严重质疑,险些要把整个微积分理论推翻。第二次数学危机发生在牛顿建立微积分的十七世纪。

微积分降生后数学家们把微积分应用于各个领域,并获得丰硕结果可是微积分在理论基础上存在许多缺陷。第二次数学危机是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。直到柯西在1821年的《代数分析教程》中从界说变量出发,他抓住极限的观点,指出无穷小量和无穷大量都不是牢固的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;而且界说了导数和积分在这些事情基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给泛起在通用的极限的界说,一连的界说,并把导数、积分严格地建设在极限的基础上。这次危机不光没有阻碍微积分的迅猛生长和广泛应用,反而让微积分驰骋在各个科技领域,解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题,大大推进了工业革命的生长。

就其自身获得了不停的系统化,完整化,拓展出差别的分支,成为了18世纪数学世界的“霸主”。危机三,罗素悖论:S由一切不是自身元素的荟萃所组成,那S包罗S吗?用通俗一点的话来说,小明有一天说:“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的恐怖在于,它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及荟萃高深知识,它很简朴,却可以轻松摧毁荟萃理论! 康托尔的荟萃论是数学史上最具革命性和缔造性的理论,他处置惩罚了数学上最棘手的工具——无穷荟萃,让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。到了20世纪初,荟萃论已经获得数学家们的普遍赞同,大家一致认为,一切数学结果都可以建设在荟萃论的基础之上了,就连荟萃论降生之初强烈阻挡的著名数学家庞加莱也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布:“借助荟萃论观点,我们可以制作整个数学大厦。今天,我们可以说绝对的严格性已经到达了。”然而,好景不长,一个震惊数学界的消息传出,荟萃论是有毛病的!如果是这样,则意味着数学大厦的基础泛起了毛病,对数学界来说,这将是何等恐怖啊! 罗素结构了一个所有不属于自身(即不包罗自身作为元素)的荟萃R,现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的界说,因此R不属于自身,即R不属于R。

另一方面,如果R不属于R,则R不满足R的界说,因此R应属于自身,即R属于R,这样,岂论任何情况都存在矛盾,这就是有名的罗素悖论。罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础,也波及到了逻辑领域,德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于荟萃的基础理论完稿而即将付印时,收到了罗素关于这一悖论的信,他连忙发现,自己忙了良久得出的一系列效果却被这条悖论搅得一团糟,他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所遇到的最倒霉的事,莫过于是在他的事情即将完成时却发现所干的事情的基础瓦解了。”这样,罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。


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